El Cambio Fundamental: De Sumas a Integrales
Una variable aleatoria $X$ es continua si existe una función no negativa $f$, llamada función de densidad de probabilidad (FDP) de $X$, tal que para cualquier conjunto de números reales $B$:
$P\{X \in B\} = \int_B f(x) dx$
Clavemente, esto implica que para cualquier valor específico $a$, $P(X = a) = \int_a^a f(x) dx = 0$. En el ámbito continuo, solo hablamos de probabilidades sobre intervalos.
La Sincronización entre FDP y CDF
La Función de Distribución Acumulada (FDA) $F(x)$ actúa como el acumulador de probabilidad desde menos infinito hasta $x$:
$\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$
Medidas de Tendencia Central
- Valor Esperado: $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx$
- Mediana ($m$): El punto que divide el área por la mitad, donde $F(m) = \frac{1}{2}$.
- Moda: El valor de $x$ para el cual $f(x)$ alcanza su máximo.
Los Límites de la Suma
Para apreciar los "integrales" en nuestro recorrido, contrasta el mundo discreto—donde podríamos encontrar el teorema de Legendre ($\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 = \pi^2/6$) o lógica compleja para divisores (donde para $D=k$, $k$ debe dividir tanto a $X$ como a $Y$ y $X/k$, $Y/k$ deben ser coprimos)—con el mundo continuo. Aquí calculamos la varianza como $Var(X) = E[(X - E[X])^2]$ y las expectativas de funciones mediante $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x) dx$.